De fleste af værkerne indeholder enten uendelighed eller selvmodsigelser. I min opfattelse er de måske de mest poetiske aspekter af matematikken – og de rejser ofte sammen :p

Skriv endelig en kommentar til indlægget her, hvor du deler dine yndlingsværker der indholder matematik :)

To Mock a Mockingbird (1985) af Raymond Smullyan

Jeg starter min liste med To Mock a Mockingbird. Som det eneste af værkerne på den her liste, så handler værket her ikke om uendelighed eller selvmodsigelser. Jeg var faktisk lidt i tvivl om, hvorvidt værket hørte til på den her liste.

To Mock a Mockingbird er en bog i to dele. Den første del indholder en masse små logiske gåder, som for eksempel “Der står to vagter foran en port. Den ene taler altid sandt, den anden lyver altid, osv.” . Jeg elsker den slags gåder, og man kan vel se dem som en form for matematisk mikrofiktion ;) For flere af dem, kan jeg klart anbefale Ted-Ed gåder

Den anden halvdel af bogen er langt mere unik. Her indtager læseren rollen som en person der vandrer fra skov til skov. Fuglene i de forskellige skove repræsenterer forskellige kombinatorer fra kombinatorisk logik. Når en fugl hører kaldet fra en anden fugl, så respondere den selv med et kald. Der er for eksempel den titulære fugl Mockingbird, betegnet med bogstavet M. Når M hører kaldet fra en fugl x, så laver M det kald, som x havde lavet, hvis x hørte sig selv. Dette skrives op som M x = x x. Det bliver hurtigt rimeligt abstrakt, men ideen om fuglene bliver fastholdt gennem hele fortællingen :)

Jeg synes fortællingen kan ses som en metafor for det at lære matematik. Jeg nyder selv at beundre naturen. At kigge og lytte til fugle, vandløb, vinden i træerne osv. På samme måde synes, jeg at matematikken er fascinerende og smuk. For nyligt lærte jeg om catamorphismer indenfor funktionel programmering og det fyldte mig med samme glæde som at se en fin fugl ^^

At læring kan sammenlignes med at udforske naturen er ikke nyt (se f.eks. bjerget fra den her bog), men jeg synes To Mock a Mockingbird formår at være mere skønlitterær end fagbog :)

Her er et udvalg af fugle fra bogen :)

• Mockingbird : M x = x x
• Lark : L x y = x (y y)
• Kestrel : K x y = x
• Bluebird : B x y z = x (y z)
• Starling : S x y z = x z ( y z)

I kombinatorisk logik var de forskellige bogstaver allerede blevet defineret. Smullyan har så fundet et fuglenavn der starter med hvert bogstav. Det er min opfattelse, at i visse sammenhæng, så bliver kombinatorernes fuglenavne brugt i stedet for bare deres bogstav. Jeg synes, at det er meget fint, at kunsten på den måde har gjort matematikken mere malerisk :)

Til sidst vil jeg dog kritisere bogen, for at have ret dårlig kvindelig repræsentation. Når læseren rejser fra skov til skov, møder man i hver skov en forsker der introducere læseren til skoven. Det er et stykke tid siden at jeg har læst bogen, men som jeg husker det, så er der kun mandlige forskere i skovene. De mandlige forskere har dog koner, som bliver rost for at lave god frokost og at se godt ud ... Mandlige matematikere har en del at skulle gøre op for, når det kommer til sexisme i faget.

Logicomix (2009) af Apostolos Doxiadis, Christos H. Papadimitriou, Alecos Papadatos og Anni Di Donna

“Logicomix – En tegnet fortælling om Jagten på sandhed” følger Betrand Russel (1872 – 1970) og handler om matematisk logik. Den fortæller om Bertrands liv, men man møder også andre matematikere og filosoffer fra tiden.

Udover at følge Betrand, så foregår der sideløbende en historie i nutiden, omkring forfatterne af bogen der er i gang med at skrive netop Logicomix. Selv-referentialitet er gjort før, men jeg synes der bliver tilføjet et ekstra lag til det her, da Betrand Russel især er kendt for sit paradoks der netop handler om self-referentialitet.

Mere præcist er Russels paradoks: “Indeholder mængden af alle mængder der ikke indeholder sig selv sig selv ?”.

Bogen udgør ikke selv noget paradoks, men det samme kan ikke siges om alle blogindlæg, der ikke referere til sig selv :p

Hvis man gerne vil lære mere om selvmodsigelser og selv-refererende objekter, så kan jeg klart anbefale den her video :)

Jeg vil desværre igen sige det samme om den her bog, som om den forrige: At den kvindlige repræsentation kunne være bedre. Der er især en scene der går mig meget på. Det er en relativt tidlig scene, hvor logikeren Gottlob Frege kalder alle kvinder for “ulogiske væsner der ikke kan forstå virkeligheden”. At Gottlob skulle have sagt det, benægter jeg ikke, for han var anti-semit og generelt en skidt person. Det nævner bogen også. Hvad jeg synes er ærgerligt, er at bogen følger overstående udsagn op med, at hans kone forsvarer ham og siger, at han har et godt hjerte. Det læser jeg som, at forfatterne delvist grønstempler hans udsagn. Øv.

M.C. Escher

Jeg kunne snildt have skrevet et helt blogindlæg kun om Escher. Jeg vil i stedet holde det kort og kun nævne 3 af hans værker.

“Verbum” (1942) af M.C. Escher

“Circle Limit IV (Heaven and Hell)” (1960) af M.C. Escher

De to overstående værker bruger begge tessellationer til at sige noget omkring Kristendom (Henholdsvis skabelsesmyten og engle og dæmoner). At tessellationer og religion går hånd i hånd ses også i Alhambra.

I mine øjne er tesselationer en både at vise måde harmoni og uendlighed på :)

“Print Gallery” (1956) af M.C. Escher

Overstående er et eksempel på, at M.C. Escher også undersøgte selv-referentialitet :)

For en analyse af komplekse tal og overstående billede, vil jeg anbefale den her video. Det var rent faktisk den video der inspirerede mig til skrive det her blogindlæg :)

Jeg synes ikke, at de overstående billeder er super dybe (måske overser jeg noget ?), men jeg synes at der er enormt potentiale i dem som visuel repræsentation af uendelighed :)

Fraktaler

? Af owencomics.com

Fraktaler indeholder både uendelighed og selvreferentialitet. Jeg har dog svært ved at komme på eksempler på, at de optræder i kunst. Der er overstående stribe om mandelbrotmængden. Jeg ved ikke om den er så dyb, men den er i hvert fald sjov :p

Der er også triforce fra Legenden om Zelda, som kan ses som en tidlig iteration af Sierpinski-trekanten. Jeg ved ikke meget om Zelda, men som jeg forstår det er der også noget cyklisk i historien om zelda. Det virker dog ikke til at være en cyklus der indeholder sig selv på samme måde som Sierpinski-trekanten gør. Det havde ellers været sejt :)

Strunge

Jeg vil slutte af med følgende digt fra Michael Strunge. Det er egentlig fysik og ikke matematik, men jeg synes det er for smukt til at udelade :)

Fra Livets Hastighed (1978)

TID OG RUM

Vi vidste at tiden ikke eksisterer kun bevægelsen og derfor stivnede vi i kysset så det blev evigt

Vi vidste at rum ikke eksisterer kun tanken om det og derfor overlevede vor kærlighed på tværs af stjerner

De programmer jeg anbefaler i den her vejledning, er programmer jeg selv bruger og har brugt til foreningsarbejde over mange år. Det er programmer der virker og som alle har en eller flere garantier imod lortificering. Det er også programmer som er gratis at bruge. De tjener ikke penge på datahøst, så de fleste overlever på donationer fra brugere. Hvis I bliver glade for et projekt, giver det god mening at donere til det på sigt :)

Vejledningen er tiltænkt små foreninger med et begrænset budget. Hvis man er en større forening med andre krav, vil jeg anbefale at man vender øjnene mod det danske firma Semaphor.

I et forsøg på at holde den er vejledning letlæselig, vil jeg kun kort opremse nogle af fordelene, uden at dykke ned I, hvad det betyder: – Alle forslagene er Fri Software* – De fleste af forslagene er krypterede – Flere af forslagene er decentraliserede

For gennemsigtighedens skyld, vil jeg gerne sige, at jeg selv donerer frivilligt arbejde (og penge) til et par af de projekter jeg anbefaler.

*Det meste af bitwarden er fri software, men dele er “kun” åben software, som er mindre vidtgående.

Kodehusker (Password Manager)

Det første skridt på jeres rejse væk fra Big Tech, bør være at få en kodehusker.

En kodehusker er et program der gemmer en krypteret kopi af alle dine koder. De fleste kodehuskere kommer med en browserudvidelse, der tillader dem hurtigt at taster din kode ind, når du skal logge ind på en hjemmeside.

Selvom det måske lyder kontra-intuitivt, så er kodehuskere den sikreste måde for langt de fleste at færdes i det digitale landskab. Det er ikke sjældent, at en hjemmeside bliver hacket og får email-adresser og kodeord for alle deres brugere lækket. Hvis du bruger samme email-adresse og kodeord til flere tjenester, så er du enormt udsat for at blive hacket som følge af sådan et læk.

En kodehusker kommer med muligheden for at generere unikke koder, så alle dine kontoer kan have lange og unikke koder. Det er umuligt, at huske de koder selv, men det er jo også derfor vi bruger kodehuskeren :–)

passit.data.coop

billede fra passit.io

Passit er software lavet af Burke Software and Consulting, men serveren jeg linker til her er drevet af den danske forening data.coop.

At alle foreninger der har lyst kan drive instanser af programmet er netop en af styrkerne ved fri software :)

data.coop er desuden en super forening man bør tjekke ud, hvis man gerne vil væk fra Big Tech.

Du kan oprette en profil inde på passit.data.coop

Browserudvidelsen til firefox kan findes her

Når du har tilføjet udvidelsen, så kan du logge ind på dine kontoer, ved at trykke ctrl+l to gange når du skal til at logge ind. Så udfylder den automatisk dit brugernavn og dit kodeord :)

Der er ikke en dedikeret telefon app, men man kan tilføje siden, hvor man også lavede sin profil til sin startskærm og så får man noget der minder meget om en normal app :)

Menuen, hvor man kan tilføje app'en til sin startskærm. Man skal trykke “Add app to Home screen”.

Billede af, hvordan “app'en” kommer til at se ud :)

Bitwarden

Brugeroplevelsen er til tider lidt bedre end passit.data.coop, men til gengæld kører den ikke på en dansk server. Det er dog muligt at have sine (krypterede) kodeord på europæiske servere.

Man kan få en profil på vault.bitwarden.eu.

Man kan få deres browserudvidelse til firefox her

Modsat Passit har Bitwarden en app til både Android og iOS, som kan downloades gennem de normale appcentre. App'en hedder “Bitwarden Password Manager”.

Hvis man er på Android, kan også downloade app'en gennem F-Droid.

Online opbevaring af filer

Foreningsarbejde er nærmest synonymt med at skrive referater, lave budgetter og føre regnskaber.

Hvis man gerne vil gøre det på en fed måde, hvor alle har adgang til det, så vil jeg anbefale cryptpad.fr

Det er fri software og deres gratis plan tillader at man kan opbevare optil 1GB. Det svarer til omkring 20.000 referater*, så man kommer ikke til at mangle plads lige med det samme. Bliver plads alligevel et problem, er det ikke dyrt at opgradere sin abonnement :)

De har mulighed for at lave præsentationer, tekstdokumenter og regneark mm. Man kommer ikke til at mangle noget.

Som prikken over i'et er det også muligt at redigere i alle dokumenterne online, samtidig med andre !

Det fungerer ligesom man er vant til fra f.eks. Google Docs, så det er meget nemt at skifte over :)

*baseret på referater jeg selv har på cryptpad lige nu

Intern Kommunikation

Intern kommunikation er jo en stor kategori, og mange foreninger foretrækker at gøre det på forskellige måder. Her er et udvalg af muligheder der allesammen har fordele og ulemper.

Signal

Signal er super godt til intern kommunikation.

Signal kan tilgås både som app på en telefon og som et program på en computer.

Signal tillader både tekst- og billedebeskeder, men de tillader også stemme- og videoopkald. Jeg har holdt mange online møder i (mindre) foreninger gennem signal :)

En af minusserne ved signal er, at man skal bruge et telefonnummer for at få en profil.

Signal er som udgangspunkt markant mere sikkert end de beskedtjenester du allerede bruger. Hvis du har behov for endnu mere sikkerhed, vil jeg anbefale den her guide på peertube.

Deltachat

Som det eneste program på den her liste, så har jeg ikke selv erfaring med deltachat. Jeg kender til gengæld mange der sværger til det.

Man kan downloade programmet på alle computere og telefoner herfra.

Et minus ved deltachat, er at de kun tillader kommunikation med tekst og billeder gennem beskeder. Hvis man har behøv for stemme- eller videoopkald kan man eventuelt bruge jitsi i forlængelse af deltachat.

Der er en god vejledning til at bruge delta chat her :)

Matrix

Matrix kan en masse. Det tillader både beskeder og stemme- og videoopkald. Som det eneste af de programmer jeg nævner her, så tillader matrix også, at man kan have have flere tekst-kanaler i et rum, lidt ligesom Discord. Det er super fedt, hvis man er en forening der har flere undergrupper.

Man kan oprette en profil på app.element.io.

Det er muligt at tilgå matrix på en computer gennem app.element.io. Det er også muligt at få Element app'en til telefoner :)

Jitsi

Jitsi tillader videomøder, hvor folk ikke behøver at oprette profiler, de skal bare have et link til mødet.

Jeg vil anbefale meet.labitat.dk drevet af den danske hackerforening labitat.dk.

Man kan også bruge instansen kørt af jitsi selv, på meet.jit.si :)

Ekstern Kommunikation

Duk Op

Jeg vil anbefale alle at dele deres aktivistiske begivenheder inde på dukop.dk

Duk Op er en brugerdrevet kalender for aktivisme i og omkring Danmark. Hjemmesiden er delt op i 5 forskellige sfærer: Odense, Sydfyn, København, Aarhus og Malmö/Lund.

Mastodon

Mastodon er et socialt medie, der minder lidt om Twitter.

Noget af det lækre ved mastodon, er at der findes mange forskellige instanser af det, og de kommunikerer allesammen på tværs. Det vil sige, at selvom jeres forening har en profil på én instans, så kan folk stadig følge jer fra andre instanser !

Jeg vil anbefale jer, at oprette jeres forening enten på radikal.social eller expressional.social.

radikal.social er en instans med fokus på den udenomparlementariske venstrefløj i og omkring danmark.

expressional.social er en general dansk instans der velkommer alle :)

Man kan se en video, hvor jeg forklarer mastodon på dansk her

Afsluttende kommentarer

Rejsen er lang og denne vejledning dækker kun et lille udsnit af de tilgængelige muligheder.

Hvis I har brug for flere ressourcer, så er der meget hjælp at hente på mastodon, hvis man tagger sit opslag #fælleshjerne :)

God vind :)